December 2003

Симметрия.

12/6 На основе симметрии в возрасте четырех-семи лет дети могут строить множество разных понятий, от умножения до позиционных систем. В свою очередь, понятие симметрии можно поддержать играми с зеркалами и со складыванием бумаги.

На кружке мы поработали с тремя выражениями симметрии: вырезание сложенной бумаги, рисование симметричных картинок, и ""живые зеркала" - дети становятся друг напротив друга и повторяют движения. Такие "кинестетические метафоры", когда ребенок строит понятия через движения собственного тела, особенно эффективны для введения новых тем. Я стараюсь использовать их в начале каждой темы. От изучения темы через свое тело ребенок переходит к работе с предметами, затем с изображениями предметов (термин "иконические символы"), и далее работает уже с абстрактными символами предметов. Например, от ребенок сначала показывает количество на пальцах, затем фишками, потом работает с нарисованными фишками и с цифрами как символами числа.

С бумагой мы играли в "Зумбини" - это персонажи компьютерной игры про логику. Выглядят они как головы на ножках, а для игры важно - разное количество глаз. Я вырезала простой силуэт из сложенной вдвое бумаги, пробивала дыроколом дырки - а дети "угадывали", сколько глаз получится, когда бумага откроется. Это "умножательное" занятие; решать такие задачки сложно поначалу даже взрослым.

Symmetry

12/6 Children ages four to seven build many notions on the basis of symmetry, ranging from multiplication to positional systems. In turn, the idea of symmetry can be supported by games with mirrors and paper folding.

In the workshops we had three activities dealing with symmetry: paper cutting, drawing symmetric pictures, and "live mirrors" where children stand in front of each other and repeat positions and movements. Such "kinesthetic metaphors" where children construct notions through movement of their bodies are especially efficient in learning new topics. I try to use these metaphors whenever a new theme is introduced. From exploring a topic through the body children go to working with objects, with pictures of objects (named "iconic symbols") and later to abstract symbols. For example, from using fingers to show quantities children move to counters, then pictures with counters, and then written numbers as symbols of quantities.

We played paper games with "Zoombinis" who are characters from a computer game about logic. They look like heads with feet, having one feature important for our game: different number of eyes. I cut a simple shape out of folded paper, made holes with a punch, and children figure out how many "eyes" our Zoombini will have when we unfold the paper. This is a multiplicative activity; even adults sometimes have initial difficulties solving such problems.

"Головоног", выбитый в скале людьми палеолитической культуры у единственного непересыхающего источника пресной воды на Ст.Джон (Виргинские острова США), рядом с водопадом. Такие "головы на ножках" изображают также маленькие дети на одной из первых стадий развития рисунка. Фото Марии Д., 2003.

A head-and-feet image carved by paleolithic people in a rock by the only non-drying fresh water pool, with a waterfall, on St. John (US Virgin Islands). Such images are also typical for one of the first stages of drawing in young children. Photo by Maria D., 2003

12/20 Игра с дырочками и симметрией продолжает оставаться интересной для детей. Видимо, это связано с важностью симметрии собственного лица и тела для развития мышления. Подобный механизм поддерживает интерес к созданию масок, которым мы занимались в этот день со старшей группой.

В прошлый раз дети смотрели на готовые дырочки в сложенной бумаге и определяли, сколько их получится, когда бумага раскроется. В этот же раз дети поставили себе задачу другого, более продвинутого типа: по данному результату определить, сколько дырочек надо пробить в сложенной бумаге. Начали с "дважды два четыре" - этот пример является основой неожиданно многих арифметических и алгебраических операций. Сколько нужно пробить дырочек в сложенном пополам листе, чтоб на открытом их получилось четыре? Потом перешли к более сложным примерам; "квестом дня" послужил вопрос о пяти дырочках, придуманный детьми. Попробовали удвоить три дырочки - не получилось пять в результате! "Полдырочки", необходимые для решения задачи, удалось сделать на сгибе.

12/20 The game with hole punching and symmetry is still interesting to participants. The interest may be connected with the importance of symmetry of the body and face for the development of reasoning. A similar mechanism is supporting interes in mask making, which we did this day with a group of older children.

During the previous workshop, children looked at holes in folded paper and tried to determine the number of holes in the paper when it opened. This time, children chose a different, more advanced type of the task: to determine how many holes they will need to make in the folded paper to achieve the given result. They started from the classic "two times two is four" which is the grounding example for surprizingly many arithmetic and algebraic operations. How many holes do you need to punch in a paper folded in two, to achieve the total of four? Later children moved on to more complex examples. The quest of the day chosen by the children had to do with making five holes. When they tried to double three, they have not achieved five as a result! The necessary "half of the hole" was finally achieved at the fold of the paper.

Зумбини, картинка из игры:
Zoombinis, a screenshot from the game:

12/27 Продолжаем заниматься симметричными дырочками. Маша раскрашивала своего Зумбини симметричным образом, а Наташа спрашивала - почему мы красим Зумбини симметрично. Хороший вопрос - кто решает, и как, что делать будем? Вопросы подобного рода стоит подробно обсуждать.

Эрик задался целью сделать Зумбини с двадцатью глазами. Считал он при этом пятерками, то есть задача состояла для него в нескольких уровнях удвоений. Так он и сказал: "Нужно пять и пять, и пять и пять". Но на практике у него получилось три удвоения и сорок глаз, ведь сама операция складывания бумаги пополам тоже удваивает. Это был интересный опыт для всех.

Итерация, повторные операции - важнейшая тема для построения нашей системы счисления, ведь 100 - это "десять десяток", а 1000 - это "десять десяток десяток". Итерацию можно вводить, например, через симметрию (двойные зеркала) или через функции-машины.

12/27 We continue to work with symmetric holes. Masha colored her Zoombini symmetrically, and Natasha asked why we color them symmetrically. This is such a good question: "Who and how decides what to do?" I think it is important to discuss such questions in detail.

Eric wanted to make a Zoombini with twenty eyes. He counted by fives, so the problem, for him, was about several doublings. He said: "We need five and five, and five and five." But in reality he made three doublings and forty eyes, since the operation of folding also doubles. It was quite a useful experience for everybody.

Iteration, or repetition of an operation, is one of the most important themes in construction of our numeric system. Indeed, 100 is "ten of tens" and 1000 is "ten of tens of tens." One can introduce iteration via symmetry (double mirrors) or via function machines.

Понятия <и метафоры>:

Симметрия, умножение, деление <складывание пополам, зеркало>

Ideas <and metaphors>:

Symmetry, multiplication, division <folding, mirror>

Далее на тему:

Более одной оси симметрии, другие виды симметрии, тесселяции и калейдоскопы
Повторение операции отображения, "зеркало дважды", связь с итерацией функции

In the future:

More then one symmetry axis, other types of symmetry, tesselations, kaleidoscopes
Reflecting in the mirror twice; connections with iterations of functions

Работа над симметрией

12/27 Working with symmetry

Две двойки пятерок - или две двойки двоек пятерок?

12/27 Two of couples of fives - or a couple of two couples of fives?

Базовое уравнение: 2*2=4

12/20 The basis of all equations: 2*2=4

Идет работа над симметрией...

12/20 Working on symmetry

Числа растут: 2*4=8, "а сверху еще ноль дырочек, потому что край"

12/20 The quantities are growing: 2*4=8, "and zero holes on top, because it's an edge"

"Живые зеркала": дети стоят друг против друга и повторяют движения.
Кроме важной математики, такая работа решает многие психологические задачи.

12/6 "Live mirrors": children repeat each other's movements, as if being mirrors.
This work, beside being important mathematically, accomplishes many psychological goals.

Работа с симметричным силуэтом: дырочки, раскрашивание...

12/6 Working with a symmetrical shape: punching holes, coloring...

Выставка симметричных работ

12/6 Symmetry exhibit

Функции.

12/6 Понятие "машины, которая производит определенное математическое действие с любым об'ектом" - одно из базовых в математике. На нем построены, очевидно, многие алгебраические идеи - собственно функция, неизвестное, уравнение... Но и в изучении арифметики именно такая метафора чрезвычайно полезна, она организует разрозненные действия в одну стройную систему.

На кружке мы работали так: дети приносили на руке некоторое количество счетного материала (лягушечек) к нашей "функции-машине", закрывали глаза, и машина (я) "делала что-то секретное". Когда дети глаза открывали, количество лягушек было уже на одну больше. Дети быстро поняли, что именно делает машина. Интересно, как по-разному они выражали свое понимание:

"Машина дает следующее число" - фокус на последовательности
"Машина прибавляет один" - фокус на действии
"Машина делает больше" - фокус на соответствии, сравнении

Идея секретности, закрывание глаз, прятки - это метафора для математических "неизвестных" и "переменных". Психологически, такие элементы сильно фокусируют внимания ребенка на спрятанном, делают занятие более динамичным и интересным.

Functions

12/6 The notion of "machine doing a particular action with any object" is one of the basis of mathematics. It's obvious that many algebaric ideas are built on this notion, such as function, unknown, equation... But arithmetic can also benefit from such a metaphor, since it organizes disjoint operations into one coherent system.

In the workshop, children brought a particular quantity of counters (froggies) to the "function machine." Then they closed their eyes, and the machine (me) "did something secret." When children opened their eyes again, the quantity of frogs grew by one. Children figured out what the machine does quite fast. It is interesting to observe the different expressions of their understanding:

"The machine gives you the next number" - focusing on the sequence
"The machine adds one" - focusing on the action
"The machine makes more" - focusing on correspondence and comparison

The idea of secrecy, closing your eyes, hide-and-seek is a metaphor for mathematical concepts of "unknowns" and " variables". Psychologically, such elements focus child's attention on the concepts connected with the hidden objects, and make the activity more interesting.

12/20 Я попробовала предложить детям машину-функцию, прибавляющую два - оказалось, что это сложно, не все предсказывали, как машина будет работать, даже после полдюжины примеров. В первую очередь, мне кажется, потому, что дети фокусируются на работе со счетным материалом, на пересчете - забывая при этом, с чего они начали и что вообще происходит. Это типичная стадия, например, при учении: слова из букв складываются так медленно, что смысл предложения ускользает.

Чтобы справится с проблемой, усилив метафору, в следующий раз мы поработаем с не-численными машинами. Это заодно поможет больше внимания уделить таким темам, как область определения и область значений.

12/20 I tried to offer children a function machine adding two, and it turned out the task is hard! Not everybody could predict what will happen to a quantity, even after half-dozen examples. I believe the reason is that children focus on work with counters, forgetting what they started from, and what is going on in general. It's a typical stage, for example, when one learns to read: the words are read so slowly that the meaning of a sentence escapes.

To address the problem by strengthening the underlying metaphor, the next time we will work with qualitative (non-numeric) machines. It will also help to bring attention to the topics of domain and range of functions.

Пример не-численной функции (Flash applet):

An example of a qualitative function (Flash applet)

12/27 Поработали с парой функций, основанными на не-количественном. Первая, как в игре выше - про детенышей. Вторая про зеркало: входит некоторое количество счетных лягушек, а выходит - удвоенное, расположенное симметрично.

При этом были важны области определения (в первом случае - детеныши зверей, во втором - количества). Тема оказалась интересна детям: что можно засовывать в каждую машину-функцию? Также всплыла в этом контексте тема символов (см. ниже).

12/27 We worked with a couple of functions that were based on qualitative rules. The first was similar to the computer game above: it made adult animals out of baby animals. The second was about a mirror: a number of frog counters entered the machine, and the doubled number, arranged symmetrically, came out of it.

The idea of domain was quite important with such machines. In the first case, the domain was "baby animals," and in the second case - "quantities of frogs." The topic of what you could insert into each machine turned out to be interesting for children. Also, the idea of symbols came up in this contest (see below).

Понятия <и метафоры>:

Функция, переменные, ввод и вывод <машина, динамическая метафора функции - фокус на действии>
Область определения <что можно засовывать в машину>

Ideas <and metaphors>:

Function, variables, input and output <machine as a dynamic metaphor for "function" focusing on actions>
domain <what you can insert into the machine>

Далее на тему:

Разнообразные функции, итерация функции, композиция, обратные функции , итерация

In the future:

Different kinds of functions, iterations, composition, inverse functions, iteration

Функция-машина (домик) превращала детенышей во взрослых животных. Такие не-количественные функции помогают более глубоко изучить идеи на тему.

12/27 This function machine (a play house) transforms baby animals into adult animals. Such qualitative functions help to go deeper into the ideas related to the topic.

Функция, работающая на симметрии (зеркале).

12/27 This function operates like a mirror.

Сколько же лягушек выдала машина, когда в нее вошло 4?

12/20 How many frogs did we get from the machine, if four entered?

Все внимание на "функцию-машину"

12/6 All attention to the "function machine".

Уравнения.

12/6 В работе с "функциями-машинами" дети фокусируются на неизвестном действии машины, которое им предлагается вычислить ("угадать"). В работе с уравнениями действие известно, а угадать предлагается "секретного" члена этого действия.

Как и в теме симметрии, мы начали с игр про наши собственные движения. Дети садились в кружочек, закрывали глаза - и я тихонечко относила одного из них, Мистера Х, прятаться в палатке, заодно надевая "загадочную шляпу". Открыв глаза, остальные дети оглядывались и определяли, кого же не хватает. Игра особенно понравилась.

Дальше это же занятие продолжили с предметами, в обычной последовательности изучения (ребенок-предмет-рисунок-символ). Дети смотрели на группу разных небольших игрушек-зверушек, закрывали глаза - часть игрушек пряталась под той же шляпой. Открыв глаза, дети должны были определить, какие игрушки спрятались.

Потом та же игра была уже с одинаковым счетным материалом. Например, дети смотрели на группу из пяти фишек, закрывали глаза, а когда открывали - фишек оставалось три, а остальные были под шляпой Х. Вопрос - сколько фишек под шляпой? Соответствующее уравнение: 5-X=3

Equations

12/6 In their work with "function machines" children focus on the unknown action of the machine which they are to figure out ("guess"). In equation work, the action is known, and children are to guess a "secret member" in the action.

In the same manner used in exploring symmetry, we started from an activity involving our own movements. Children sat in a circle, closed their eyes - and I carried one of them, named Mister X, away. Then Mister X would hide in a play hut and put on the mystery hat. Other children would open their eyes and look around to determine who is the missing Mister X. The game proved popular.

In the usual sequence (child-object-drawing-symbol) we continued the activity with objects. Children would look at a pile of small different animal toys, and close their eyes. Some toys would "hide under the hat." Then children would look at the reminding toys and determine what was hiding under the hat.

The same game then was played with counters. For example, children looked at a group of five counters, closed their eyes, and then opened them to see that only three counters are left, and the rest are hiding under the hat. The question: how many are under the hat? The corresponding equation is 5-X=3

12/20 Мы продолжали работать с уравнениями в том же ключе. В этот раз дети стали составлять свои уравнения, а я помогала им записывать. Например, Эрик продемонстрировал с помощью шляпы и счетного материала такое: 5-X=0 Этот необычный до того поворот событий ("все ушли") немало порадовал участников. Как и в старшей группе, вырожденные математические случаи у детей метафорически связаны с идеей юмора.

Интересно, насколько важно создать структуру, помогающую детям задуматься о будущем, попытаться предсказать, что получится. Это сложно в возрасте четырех-пяти лет, когда ребенок все еще во многом живет в непосредственном потоке событий, не делая пауз на рефлексию. В наших играх, я обычно спрашиваю у каждого участника, что, по их мнению, должно получиться; сколько же фишек под шляпой, какое же число выйдет из машины-функции... Такие "предсказания" - один из механизмов интернализации внешних действий (ср. исследования Tsur). Ведь чтоб предсказать, ребенок должен попытаться проделать действие в уме. Посчитать на пальцах, сколько будет 2+3, и предсказать (не производя действий), видя перед собой два пальца, сколько будет, если прибавить еще три - принципиально разные задачи, которые дети осваивают с перерывом иногда в несколько лет.

12/20 We continued working with equations in the same style. This time, children started to make up their own equations, and I helped them to record. For example, Eric demonstrated this equation with our hat and counters: 5-X=0. This unusual turn of events ("everybody has left") was quite entertaining for participants. As it is for older children, mathematically degenerate cases are metaphorically connected with humor.

Creation of structures that help children to pause and to try predicting what will happen is crucial at this stage. The task of reflexion is still a challenge at the age of 4-5, when the child is largely living in the flow of immediate events, without making reflective pauses. In our games, I usually ask every participant what is going to happen, in their opinion: how many counters are under the hat, or what number will come out of the function machine. Such "predictions" form a main mechanism for internalizing actions into thinking (cf. anticipation research by Tsur). To predict an outcome, the child has to do the activity in his or her mind. Counting 2+3 on fingers, and predicting (without counting) that adding three more fingers to two will make five are radically different tasks, and a child masters them at ages sometimes differing by years.

12/27 Продолжаем работать с уравнениями на счетном материале. Дети составляют свои уравнения.

12/27 We continue to work with equations using counters. Children make their own equations.

Понятия <и метафоры>:

Уравнение, неизвестное <спрятанное>

Ideas <and metaphors>:

Equation, unknown <hidden>

Далее на тему:

Разнообразные уравнения, связь уравнений и функций, переход к символьным уравнениям

In the future:

Different kinds of equations, connections between equations and functions, moving to symbolic equations

Составление и решение 5-X=2

12/27 Construction and solving of 5-X=2

Когда глаза открыли - часть детей была в палатке. Кто?

12/20 When we opened our eyes, some kids disappeared into the tent. Who's there?

Вот кто был в палатке!

12/20 That's who was in the tent!

Кто под шляпой Х?

12/6 Who's under the X-hat?